Question

线性代数，λ取何值时,x1 x2 x3 非齐次线性方程组 有(1)唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有

麻烦回答详细点，尤其是矩阵变成梯形矩阵的过程写详细点，我是初学者，谢谢配合 非常谢谢

Answer 1

解: 系数行列式|A|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ

r3+r2
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ

c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ

= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8]
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= -(λ-1)^2(λ-10).

所以λ≠1且λ≠10时,方程组有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵(A,b)=
1 2 -2 1
2 4 -4 2
-2 -4 4 -2

r2-2r1,r3+2r1
1 2 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0

故此时方程组有无穷多解, 通解为: (1,0,0)^T+c1(-2,1,0)^T+c2(2,0,1)^T.

当λ=10时, 增广矩阵(A,b)=
-8 2 -2 1
2 -5 -4 2
-2 -4 -5 -2

r1+4r2,r3+r2
0 -18 -18 9
2 -5 -4 2
0 -9 -9 0

r1-2r3
0 0 0 9
2 -5 -4 2
0 -9 -9 0

r(A)=2, r(A,b)=3,此时方程组无解.