Question

x和y都是实数，且满足xy(x²-y²)=x²+y²，求x²＋y²的最小值。

如题。
这道题我想了很久也没有想明白。只能化简到x²+y²=2xy³/xy-1。
多谢各位相助。此题依然出自BMO2,2006,第一题。
忘记一个条件x不等于0。
这个自然推出X,Y都不为0。

Answer 1

x,y均为实数 x^2+y^2≥0
当x=0或y=0时 左边=0
此时右边=0
故 当x=0或y=0 x^2+y^2最小值为0
思路应该是这样的 具体解法我回教室想下

追问

不好意思条件忘了，X不为零，所以可退Y不为零。

Answer 2

设x=rcosa,y=rsina
r^2 sin2a cos2a=2
r^2 sin4a=4
r^2最小取4。

追问

根据什么样的原理我们可以假设X=rcosa和Y=rsina呢？换句话说，在设X=rcosa和Y=rsina的关系即x/y=cosa/sina, 这样假设是否已经重新限定了整个问题？

追答

极坐标啊。每个点（x，y）都对应于(r，a+kπ）。
感觉你还是个高二一下的学生，对数学的感觉还不强。
这个对应虽然不是一一对应，但是也差不多，这个变换是可逆的。就是说，每个直角坐标都对应于一组极坐标。那么极坐标算出的答案是可以逆变换到直角坐标中的答案的。

追问

原来如此，所以答案是1/4还是4呢？这几个我都能推出来，只是不太理解这个极坐标，没有接触过。您说得基本对我现在对应国内是高二的年龄，这个题是英国奥赛的，相当于全国总决赛的一道题。我之前没有接触过，然后学校的数学以及高等数学又相对简单没有到这个难度。