Question

已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -b x 2 +2x+a ，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单

已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -b x 2 +2x+a ，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)- a 2 ＞ 2 3 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=x 2 -2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分） ∵x=2是f（x）的一个极值点， ∴x=2是方程x 2 -2bx+2=0的一个根，解得 b= 3 2 ．---------------------------（3分） 令f′（x）＞0，则x 2 -3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分） ∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分） （Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0， ∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分） ∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且  f(2)= 2 3 +a ．--------------（10分） 若当x∈[1，3]时，要使 f(x)- a 2 ＞ 2 3 恒成立，只需 f(2)＞ a 2 + 2 3 ，----（12分） 即 2 3 +a＞ a 2 + 2 3 ，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）