如图,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径做圆O,与斜边AC交于点D,E为BC边的中点,连接DE. (1)求证:DE是

如图,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径做圆O,与斜边AC交于点D,E为BC边的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE、AE,当∠CAB为何值时,... 如图,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径做圆O,与斜边AC交于点D,E为BC边的中点,连接DE. (1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE、AE,当∠CAB为何值时,四边形AODE是平行四边形,并说明理由;(3)在(2)的条件下,求sin∠CAE的值. 展开
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童年逝燃804
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(1)通过证明∠ODE=90°,OD⊥DE,得DE是⊙O的切线 (2)  当∠CAB=45°时,四边形AODE是平行四边形 (3)      


试题分析:(1)证明:连接OD、BD.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∵∠ADB+∠BDC=180°,∴∠BDC=90°,
∵E为BC边的中点,∴BE=DE=CE= BC
∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB,
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°,
∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.         

(2)解:当∠CAB=45°时,四边形AODE是平行四边形.
又∵∠ABC =90°,∴∠CAB=∠C =45°,∴AB=BC.
同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°,E为BC边的中点,
∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB.
又∵DE= BC,OA= AB, ∴DE=OA.
∴四边形AODE是平行四边形.  
(3)过点E作EF⊥AC交AC于点F,设EF=x,则CE=BE= x,BC=AB=2 x,
在Rt△ABE中,AE= = x
在Rt△AFE中,sin∠CAE= = =
点评:本题考查直线与圆相切,平行四边形,掌握直线与圆相切的概念和性质,并能判断直线与圆相切,掌握平行四边形的判定方法,会判定一个四边形是平行四边形
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