Question

（2013?黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD交于点O，OE⊥BC，垂足是E．（1）

（2013?黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD交于点O，OE⊥BC，垂足是E．（1）求证：E是BC的中点；（2）若在线段BO上存在点P，使得四边形AOEP为平行四边形．求证：四边形ABED是平行四边形．

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∵在△ABC和△DCB中，

AB＝DC AC＝DB BC＝CB

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵OE⊥BC，
∴点E是BC中点（三线合一）．

（2）∵四边形AOEP是平行四边形，
∴AP=OE，
∵在△APD和△EOB中，

∠ADP＝∠EBO ∠APD＝∠EOB AP＝EO

，
∴△APD≌△EOB（AAS），
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．