Question

如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、点C，与y轴交于点B（0，-5）．（1）求该二次

如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、点C，与y轴交于点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，得

0＝a×(?1)2?4×(?1)+c ?5＝a×02?4××0+c

，
解得

a＝1 c＝?5

，
故二次函数的表达式为y=x²-4x-5；

（2）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）．
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=

OA2+BO2

=

26

，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小．
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，
则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC．
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点．
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，可得：

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