Question

如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0

如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于点B．（1）若S△AOB=3，则k=______；（2）当k=-8时：①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由．

Answer 1

解：（1）设AB交y轴于C，如图1，
∵AB∥x轴，
∴S_△AOC=

1

2

×2=1，S_△BOC=

1

2

|k|，
∵S_△AOB=3，
∴1+

1

2

|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为：-4；

（2）①方法一：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
∴AB=5，OA=

5

，OB=2

5

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，

方法二：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
设AB与y轴相交于点C，则OC=2，AC=1，BC=4，
∴

OA

OC

＝

OC

BC

，
∵∠OCB=∠OCA=90°，
∴△OBC∽△AOC，
∴∠OBC=∠COA，
∵∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠AOB=90°；

②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），则MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y₁、y₂的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴

NE

OF

＝

OE

MF

＝

ON

OM

，
即

? 8 b

a

＝

?b

2 a

＝

ON

OM

，
∴a²b²=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴

ON

OM

＝

?ab

2

＝

4

2

=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=

ON

OM

=2，
∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化．