Question

已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．（1）当∠MBN旋

已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．（1）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF②AE+CF=EF；（2）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想（1）中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；（3）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）①在△ABE和△CBF中，

AB＝BC ∠A＝∠BCF AE＝CF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF；
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF=

1

2

（∠ABC-∠MBN）=

1

2

（120°-60°）=30°．
∴AE=

1

2

BE，CF=

1

2

BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=

1

2

BE+

1

2

BF=EF；
（2）延长DC至K点使得CK=AE，如图．

在△ABE和△CBK中，

AB＝BC ∠A＝∠BCK AE＝CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BK＝BE ∠KBF＝∠EBF BF＝BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；
（3）如图3，猜想AE-CF=EF．
证明如下：

在DC的延长线上取点K，
使CK=AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，

AB＝BC ∠A＝∠BCK AE＝CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BE＝BK ∠KBF＝∠EBF BF＝BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．