Question

如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D是BC 的中点，点E，F分别在AB

,AC上，且∠EDF=90°，连接EF，求证BE的平方+CF的平方=EF的平方

Answer 1

证明：

延长FD到G，使DG=DF，连接BG、EG。

∵D是BC的中点

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，DG=DF

∴△BDG≌△CDF（SAS）

∴BG=CF，∠DBG=∠C

∵∠A=90°

∴∠ABC+∠C=90°

∴∠ABC+∠DBG=90°

即∠EBG=90°

∵根据勾股定理，BE^2+BG^2=EG^2

∴BE^2+CF^2=EG^2

∵DG=DF，∠EDF=90°

∴ED垂直平分GF

∴EF=EG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

∴BE^2+CF^2=EF^2