Question

已知函数f（x）=-1/a+2/x（x＞0）．若f（x）+2x<0在（0，+∞）上有解，求a的取值范围．

Answer 1

f（x）=-1/a+2/x（x＞0）

f（x）+2x<0
即-1/a+2/x+2x<0
即 1/a>2/x+2x
f（x）+2x<0在（0，+∞）上有解
即是存在x>0使得 1/a>2/x+2x成立
只需1/a > (2/x+2x)min即可
∵x>0 根据均值定理
∴2/x+2x≥2√(2/x*2x)=4
（ 当2x=2/x，即x=1时取等号）
∴x=1时，2/x+2x取得最小值4
∴1/a>4
解得0<a<1/4
∴a的取值范围是(0,1/4)

Answer 2

-1/a+2/x+2x<0
因为x＞0
不等式等价于 2x²-x/a+2<0
（1/a）²-8≥0
（1/a）²≥8
所以-√2/4≤a≤√2/4 且a≠0