Question

已知函数f（x）=x²+a/x，且f（1）=2。

已知函数f（x）=x²+a/x，且f（1）=2。 （1）判断并证明函数f（x）在其定义域上奇偶性（2）证明f（x）在（1，+∞）上是增函数

Answer 1

F(1)=2 可以推出 a=1。于是f(x)=X²+1/x,可知f(x)的定义域是X≠0，其定义域是关于原点对称的（谈到奇偶性必须要说明定义域关于原点对称，否则是没有意义的）
然后令F1=X²，F2=1/X
显然F1为偶函数，F2为奇函数，一奇一偶相加为奇函数
关于增函数可以用定义去证明，也可以用图形叠加去证明，不详细说明了

Answer 2

先纠正下你的题目，应该是f(x)=（x²+a）/x
∵f(1)=2
∴代入f(x)=（x²+a）/x可以求出a=1
∴f（-x）=（（-x）²+1）/（-x）=-（x²+1）/x=-f（x）
所以f（x）是奇函数

2.设x1>x2>1,f(x)=(x^2+1)/x=x+1/x
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/(x1x2)
x1-x2>0,x1x2>1,1/(x1x2)<1,1-1/(x1x2)>0
故有f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以，函数在（1，+无穷）上是增函数。

Answer 3

利用定理偶函数f（x）=-f（-x）奇函数f（x）=--f（-x）可求函数的奇偶性
因为f（1）=2可得a=1证明f（x+1）-f（x).》0