Question

微积分。求牛莱公式的证明

Answer 1

我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.