Question

已知圆的方程为x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m属于实数)。求证，不管m为何值，圆心在同一直线上。

Answer 1

x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0
(x²-6mx+9m²)+[y²-2(m-1)y+(m-1)²]=25
(x-3m)²+[y-(m-1)²]=25
∴圆心坐标为(3m，m-1)
∴圆心轨迹方程为y=(x/3)-1 即x-3y-3=0

故，不管m为何值，圆心在同一直线上。

Answer 2

x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0
x^2-6mx+9m^2+y2-2(m-1)y+m2-2m+1-25=0
x^2-6mx+9m^2+y2-2(m-1)y+(m-1)^2=25
(x-3m)^2+(y-(m-1))^2=25
设圆心为(x,y)
x=3m y=m-1
y=1/3m-1
所以　不管m为何值，圆心在同一直线上。

Answer 3

• 将原方程配方得：（x-3m)2+[y-(m-1)]2=25

• 所以圆心坐标为:：x=3m，y=m-1  *

• 将*联立消去m得y=1/3x-1   从而原题得证