Question

一道有难度的几何题，四点共圆的，写出详细的过程不要随便写刷积分

Answer 1

本题有难度，我暂时只能证明，AP=CP PL=PK ,BP=3AP,而证明不了AP=CP =PL=PK

追问

写写你的过程。

追答

证明：设内要圆半径为r,
作△ABC的外切圆 O，延长BI，交圆O于点P,交圆I于F
，连接LK，PC，PK，PI，PL，PA，作PN⊥DK于点N。
作IG⊥AC于G，作PM⊥AC于M
先证：（1） △BDI ≌ △BEI（证明很简单，略）
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理：AI是∠BAC的角平分线，CI是∠ACB的角平分线
∴AD=AG EC=GC

因为AC=AG+GC=b
所以AD+EC=b

又因为：BC+AB=a+c=3b
BD=BE
所以： BD=BE=b
因为∠PAC=∠PBC（对应同一弦PC），
∠PCA=∠ABP（对应同一弦PA）
AP=PC
△APM∽△BID，
所以：
AP：BI=AM：BD，又能因为AM=（1/2）AC=（1/2）b BD=b
所以：AP=0.5BI，PM=0.5r
△PAF ∽ △PBA
∴ AP：AF = BP：BA　　
AC；FC = BP：BC
（AP+AC）：（AF+FC）=2BP：（BA+BC）
　 推出：AP=（1/3）BP
前已证：AP=0.5BI
∴IP=AP=（1/3）BP
不难证明△APM≌△PIN
所以：IN=PM=0.5r
所以：IN=NK
不难证明△PKN≌△PIN：
所以：PI=PK
同理：PI=PL
又因为：AP=PC+PI
所以：AP=CP =PL=PK

书写得很乱，很多简单的证明省略了，但方法是对的，最主要还是自己消化。