Question

八年级数学题，请帮帮忙

等边⊿ABC的两边AB，AC的垂直平分线的交点为O点，M，N为AB，AC所在直线上的两点。
且∠MON=60°。
（1）如图1所示，点M，N在边AB，AC上，当AM≠AN时，猜想BM，MN，AN之间的数量关系并加以证明；
（2）如图2所示，当M在边AB上，点N在CA的延长线上时，猜想（1）中的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。

Answer 1

（1）BM=AN+MN
证明：连接BO,CO分别与AC,AB相交于点E,F，在BF上截取FG=NE
因为点O是等边三角形ABC的两边AB,AC的垂直平分线的交点
所以AF=AE=BF
因为AE=AN+NE
角OFG=角OEN=90度
角COE=60度
OF1/3CF
OE=1/3BE
CF=BE
所以OF=OE
所以直角三角形OFG和直角三角形OEN全等（SAS)
所以OG=ON
角FOG=角EON
因为角MOF+角MON+角NOF+角COE=180度
因为角MON=60度
所以角MOF+角FOG=角MOG=60度
所以角MOG=角MON=60度
因为OM=OM
所以三角形MOG和三角形MON全等（SAS)
所以MN=MG=MF+FG
因为BM=BF+FM
所以BM=AE+FM=AN+NE+FM=AN+FG+FM
所以BM=AN+MN
(2)MN=AN+BM
证明：延长AB，使BE=AN，延长BO与AC相交于点F，连接OA,OE
因为点O是等边三角形ABC的两边AB,AC的交点
所以角AOF=60度
角OCN=角OAE=1/2角BAC=30度
OA=OC OA=OB
AB=AC
因为CN=AC+AN
AE=AB+BE
所以CN=AE
所以三角形OCN和三角形OAE全等（SAS)
所以ON=OE
因为AN=BE
OB=OA
所以三角形OBE和三角形OAN全等（SSS)
所以角BOE=角AON
因为角MOB+角MON+角AON+角AOF=180度
因为角MON=60度
所以角MOB+角BOE=角MOE=180-60-60=60度
所以角MON=角BOE-60度
因为ON=OE
OM=OM
所以三角形OMN和三角形OME全等（SAS)
所以MN=ME
因为ME=BM+BE
所以MN=BM+AN
角

Answer 2

解：（1）AM=CN+MN，
理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，O也是等边三角形三个角的平分线交点，
∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=
1
2
×60°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∠NCA=∠N′AB=180°-60°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=120°+30°=150°，
∵在△OCN和△OAN′中
OC=OA∠NCO=∠OAN′AN′=CN
，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON=ON′∠NOM=∠N′OMOM=OM
，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．
（2）AM=CN+MN，
证明：理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∠NCA=∠N′AB=180°-60°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=120°+30°=150°，
∵在△OCN和△OAN′中
OC=OA∠NCO=∠OAN′AN′=CN
，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON=ON′∠NOM=∠N′OMOM=OM
，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．

Answer 3

以前挺喜欢数学的；好久没学都忘了；图片呢？附加图1就好解决点

Answer 4

等边三角形？题目不对吧

Answer 5

额，汗

Answer 6

猜想AN+MN=BN吧