Question

数学矩阵问题

还是有点疑问：为什么A+E可逆就说B也可逆呢？B=(A+E)^2，并不是B=A+E。也就是说A+E可逆，那么(A+E)^2也可逆？为什么呢？

Answer 1

A+E可逆其行列式不为零

(A+E)^2的行列式等于A+E行列式的平方，所以也不等于零，故其可逆。

注：可逆的一个充要条件就是行列式不为零。

Answer 2

矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于0.

若A可逆, B = A^2
则 |B| = |A^2| = |A|^2 ≠ 0
所以 B 可逆.

知识点: 同阶可逆矩阵的乘积仍可逆, 且 (AB)^-1 = B^-1A^-1.

Answer 3

设C=(A+E)^(-1),那么BC^2=(A+E)(A+E)(A+E)^(-1)(A+E)^(-1)=(A+E)(A+E)^(-1)=E(由矩阵的乘法结合律），所以C^2就是B的逆矩阵。