Question

数学高中二次函数问题

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Answer 1

1,(1)证明：令F(x)=f(x)－x，∵ x1，x2是f(x)－x=0的根，∴ F(x)=a(x－x1)(x－x2)．
当x∈(0，x1)时，由于x1<x2，∴ (x－x1)(x－x2)>0，
又a>0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0，即x<f(x)．
x1－f(x)=x1－[x＋F(x)]=x1－x－a(x－x1)(x－x2)，
=(x1－x)[1＋a(x－x2)]
∵ 0<x<x1<x2<1/a，
∴ x1－x>0，1＋a(x－x2)=1＋ax－ax2>1－ax2>0，
∴ x1－f(x)>0.
由此得x<f(x)<x1
(2).依题意知x0 = －b/2a
∵x1、x2是方程f(x)－x = 0的两个根
即x1、x2是方程ax2 + (b－1)x + c = 0的两个根
∴x1 + x2 = －(b－1)/a
则x0 = [a(x1 + x2)－1]/2a = (a x1 +ax2－1)/2a
∵ax2 < 1 ∴x0 < x1/2
2.（1）由-1<x<1, 令x=0,得证。
（2）因为g(x)是一次函数，故最大值最小值在两侧端点处取得，所以最大值为|g(1)|或|g(-1)|. 由于|f(1)|=|a+b+c|<=1 故|g(1)|=|a+b|<=|a+b+c|+|c|<=1+1=2同理可证|g(-1)|<=2，综上有|g(x)|<=2 。
（3）由（2），当且仅当|a-b+c|=1 或|a+b+c|=1， |c|=1同时成立时|g(x)|=2，且在x= -1处取得。由于a>0 时.g(x)最大值为 g(1)=2=a+b 故c=-1 . 所以f(x)最小值在x=0 处取得，最小值为－1.故f(x)的对称轴为x=0，b=0,所以a=2,故解析式为f(x)=2x^2-1。

Answer 2

1. c=f（0）.因为|f（x）|<=1,所以|c|<=1

2. (1)当a>o时，g（x）的最大值是a+b，最小值是b-a

   |f(1)|=|a+b+c|<=1,|c|<=1,则-1<=a+b+c<=1,-1<=-c<=1,两式相加的-2<=a+b<=2,即|a+b|<=2

   同理可得|b-a|<=2

   (2)当a<0时，最大值为b-a，最小值为b+a，由（1）可得a+b|<=2，|b-a|<=2

   综上成立

3. 应该缺条件

   证明不是很详细，自己整理一下吧

    

Answer 3

第二题的第一问 代X=0，就OK了