Question

考研数学随机变量问题

01年考研题 设随机变量X和Y的联合分布是以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形上均匀分布,试求随机变量z=x+y的方差

化成的三角形区域G={x,y}|0《x《1,1-x《y《1}也就是上三角形，但是按Z=X+Y来说 应该是X+Y《Z那就是应该是直线Y=-X+Z以下的部分才对呀!

Answer 1

此题你理解有些误差。
由题意可知：f(x,y)=2 (0<x<1,0<y<1),当其他时，f(x,y)=0
设Z=X+Y,那么P(Z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=∫∫2dxdy, (积分区域为直线Y=-X+Z与三角形区域相交公共部分）
=∫∫2dxdy(s=z-1)+∫(1，z-1)dx∫(z-x,0)2dy-∫∫2dxdy(s=1/2)
=4z-z^2-3 上式中(1，z-1)表示积分上限和下限

所以：分布函数F(Z)=4z-z^2-3 （1<z<2), F(Z)=0( Z<1), F(Z)=1(Z>2)
所以：概率密度：f(z)=4-2z (1<z<2), 其他情况：f(z)=0
E(Z)=∫z(4-2z)dz=4/3, E(Z^2)=∫z^2(4-2z)dz=11/6
D(Z)=E(x^2)-E(x)^2=1/18
不知答案对否，仅供参考
此题对公共区域积分那里有些繁琐，其他基本就是根据定义求期望和方差的过程