Question

f(x+y)=f(x)f(y),f(0)不等于0,f'(0)=1.证明:f'(x)=f(x)

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

证明：令x=y=0,则有f(0)=f(0)^2,因为f(0)<>0,所以f(0)=1,对f(x+y)=f(x)f(y)两边求导有f(x+y)'[1+f(x)']=f(x)'f(y)+f(x)f(y)'f(x)'。[注y=f(x),运用复函数求导】令y=o，并把f(0)=1,f(0)'=1代入式里化简有f(x)'=f(x),

Answer 3

本题少个条件，f(x)连续
f(0)=f(0)f(0)，由于f(0)≠0，则f(0)=1
f(m)=f(1)f(1)...f(1) m个f(1)
=[f(1)]^m
f(1/n)f(1/n)...f(1/n) n个f(1/n)
=f(1)
因此：f(1/n)=[f(1)]^(1/n)
综上可推得：f(m/n)=[f(1)]^(m/n)
因此：f(x)=[f(1)]^x，对于x取有理数均是成立的，
由于f(x)连续，且无理数可写为有理点列的极限，因此f(x)=[f(1)]^x，对所有的实数均成立
设f(1)=a，则f(x)=a^x
f '(x)=a^xlna
由于f '(0)=1，得：lna=1，则a=e，因此f(x)=e^x
因此：f '(x)=f(x)

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Answer 4

令x=y=0得f(0)=1 f'(x)=f(x+h)-f(x)/h=f(x)f(h)-f(x)/h=f(x)[f(h)-1]/h=f(x)[f(h)-f(0)]/h=f(x)f'(0)=f(x) 以上h趋于0