Question

已知函数f(x)=(x+5)(x+2),g(x)=x+1. 1、若x>-1，求函数y=f(x)/g(x)的最小值

2、若不等式f(x)>ag(x)在x属于【-2,2】上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1
y=f(x)/g(x)
=(x+5)(x+2)/(x+1)
设x+1=t,∵x>-1 ∴t>0
∴y=(t+4)(t+1)/t
=(t²+5t+4)/t
=t+4/t+5
∵t>0 根据均值定理
∴t+4/t≥2√(t*4/t)=4
当t=4/t,t=2时取等号
∴y=t+4/t+5≥9
即x=1时，y取得最小值9

2
不等式f(x)>ag(x)在x属于【-2,2】上恒成立，
即(x+5)(x+2)>a(x+1)恒成立，
当x=-1时，左边为4，右边为0，不等式成立

当-1<x≤2时，g(x)>0 则a<f(x)/g(x),
需a<[f(x)/g(x)]min , 由1知，a<9

当-2≤x<-1时，g(x)<0,则a>f(x)/g(x)
需a>[f(x)/g(x)]max
y=f(x)/g(x)=t+4/t+5 (-1≤t<0)
y'=1-4/t²=(t²-4)/t²<0
∴y=t+4/t+5 (-1≤t<0)递减
∴ymax=0
∴a>0

综上所述，实数a的取值范围是0<a<9