Question

已知函数f(x)=根号下2x+1,（1）判断函数f(x)的单调性，并证之。（2）求函数f(x)=根号下2x+1的最值。

Answer 1

解：
（1）
f(x)是增函数
下面证明：
定义域2x+1≥0，得x≥-1/2
任取-1/2≤x1＜x2,
f(x2)-f(x1)=√(2x2+1)-√(2x1+1)
=2(x2-x1)/[√(2x2+1)+√(2x1+1)]
因为x1＜x2
所以x2-x1＞0，
又√(2x2+1)+√(2x1+1)＞0
所以f(x2)-f(x1)＞0
即f(x2)＞f(x1)
所以f(x)是增函数

（2）
又（1）知f(x)在x≥-1/2为增函数
所以f(x)=√(2x+1)≥f(-1/2)=0
所以f(x)的最小值为0

Answer 2

证明：单调递增。
f(x)的导数=1/根号2x+1。。 ——（1） 又原函数的定义域x>-1/2。——（2）
由（1）（2）可得，f(x)的导数大于0，故由导数与函数单调性知，f(x)是单调递增。

由第一题知，函数单增且定义域恒大于-1/2。故只有最小值，没有最大值。且最小值在-1/2取得，最小为1。。。。