Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点， ACAB=2时，如图2，求 OFOE的值；（3）当O为AC边中点， ACAB=n时，请直接写出 OFOE的值,并给出证明。

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴∵AD⊥BC，∴∠BAD+ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠C=90°
∴∠BAD=∠C，∵OE⊥OB，∴∠AOB+∠COE=90°，又∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠COE，∴ΔABF∽ΔCOE；
⑵∵O为AC的中点，AC/AB=2，∴AB=AO=OC，
∴ΔABF≌ΔCOE，∠AOB=∠COE=45°，∴OE=BF，
过E作EH⊥OC于H，则OH=EH=OE/√2，CH=2EH=√2OE，
∴OC=3√2/2*OE，
∴OB=√2*OC=3OE，∴OF=2OE，
∴OF/OE=2。
⑶ 猜想OF/OE=n。

追问

第三小题能否证明？

Answer 2

(3)OF/OE=n
设AB=2x，则：AC=2nx,AO=OC=nx,BC=2√(1+n^2)x
OB=√(4+n^2)x
BD=AB*sinC=2x/√(1+n^2)
在△BOC中，设∠OBC=a，则cosa=(BC^2+OB^2-OC^2)/2BC*OB=(2+n^2)/√(1+n^2)(4+n^2)
在RT△BDF中，BF=BD/cosa=2x√(4+n^2)/(2+n^2)
△ABF∽△COE
∴OE/OC=BF/AB
OE=BF*OC/AB=nx√(4+n^2)/(2+n^2)
OF=OB-BF=n^2x√(4+n^2)/(2+n^2)
∴OF/OE=n

Answer 3

简写
因为∠COE+∠AOB=90° 又∠ABO+∠AOB=90°
所以∠COE=∠ABO
因为AD⊥BC所以∠C+∠CAD=90°又∠CAD+∠BAD=90°
所以∠C=∠BAD
所以 两个三角行相似