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假如极限不唯一，
设lim f(x)=a,lim f(x)=b,不妨设a<b,
对ε=(b-a)/2.存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时，
有 |f(X)-a|<ε, f(X)-b||<ε,也就是
f(x)<a+ε=(a+b)/2, f(x)>b-ε=(a+b)/2,
矛盾。
所以极限唯一
设lim f(x)=a,lim f(x)=b,不妨设a<b,
对ε=(b-a)/2.存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时，
有 |f(X)-a|<ε, f(X)-b||<ε,也就是
f(x)<a+ε=(a+b)/2, f(x)>b-ε=(a+b)/2,
矛盾。
所以极限唯一
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