求级数的收敛区间
∑(1到无穷)n!*2^(-nx)/n^n尤其是端点处的情况，帮忙说明一下，满意的话追加分数......
∑(1到无穷) n! * 2^(-nx) / n^n
尤其是端点处的情况，帮忙说明一下，满意的话追加分数... 展开
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1个回答
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用比值判别法(ratio test)
令an=n! * 2^(-nx) / n^n
a(n+1)/an=(n+1)2^(-x)*n^n/(n+1)^(n+1)
=2^(-x)*n^n/(n+1)^n
=2^(-x)*[n/(n+1)]^n
取极限=2^(-x){[1-1/(n+1)]^[(n+1)]}^(n/(n+1))
=2^(-x)[e^(-1)]^1
=1/(e*2^x)<1
即2^x>1/e
x>log 2 1/e= -1/ln2，收敛
当x=-1/ln2时，2^(-x)=e
an=n!(e^n)/(n^n)
因为n->无穷时
n!等价于(n/e)^n * 根号(2πn)
所以代入后得到
an~根号(2πn)
所以limn->无穷 an≠0
所以级数不收敛
所以收敛域只有
(-1/ln2,∞)
令an=n! * 2^(-nx) / n^n
a(n+1)/an=(n+1)2^(-x)*n^n/(n+1)^(n+1)
=2^(-x)*n^n/(n+1)^n
=2^(-x)*[n/(n+1)]^n
取极限=2^(-x){[1-1/(n+1)]^[(n+1)]}^(n/(n+1))
=2^(-x)[e^(-1)]^1
=1/(e*2^x)<1
即2^x>1/e
x>log 2 1/e= -1/ln2，收敛
当x=-1/ln2时，2^(-x)=e
an=n!(e^n)/(n^n)
因为n->无穷时
n!等价于(n/e)^n * 根号(2πn)
所以代入后得到
an~根号(2πn)
所以limn->无穷 an≠0
所以级数不收敛
所以收敛域只有
(-1/ln2,∞)
更多追问追答
追问
请问在x=-1/ln2处,接下来n!的等价量(n/e)^n * 根号(2πn)是怎么得到的？？
还有，是否可以在-1/ln2点处用级数判别方法？
追答
是否可以在-1/ln2点处用级数判别方法？
不可以，因为n!的存在，其它判别法也失效
n!的等价量(n/e)^n * 根号(2πn)是公式~
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