Question

已知在圆O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是弧BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF

已知在圆O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是弧BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD
(1)求证：△ACH∽△AFC
(2)猜想：AF AH与AE AB的数量关系并说出过程
（3）探究当E位于何处时S△AEC：S△BOD=1：4？加以说明

Answer 1

只给出关键点,详细请自己推导
(1)∠CAH=∠FAC,
∠ACH与∠AFC所对的圆弧相等,故这两个圆周角也相等.
从而：△ACH∽△AFC
(2)关系是乘积相等
由(1)中的相似可得
AH:AC=AC:AF
故AH*AF=AC^2
容易证明：△ACE∽△DBE
故有AE:ED=CE:BE
其中,ED=CE,BE=AB-AE
代入上面的比例式中化简后有:
AE*AB=CE^2+AE^2=AC^2
故AH*AF=AE*AB

(3)
S△AEC=AE*CE/2
S△BOD=ED*BO/2=ED*2/2=ED=CE
由S△AEC：S△BOD=1:4得
AE*CE/2:CE=1:4
故AE=1/2

Answer 2

（1）
∵OA过圆心且CD⊥AB
∴弧AC=弧AD
∴∠F=∠ACD
又∵∠CAF=∠CAF
∴△ACH∽△AFC
（2）
连接BC
∵AD为直径
∴∠ACB=90°
又∵CE⊥AB
∴AE×AB=AC²
∵△ACH∽△AFC
∴AC/AH=AF/AC
∴AC²=AH×AF
∴AH×AF=AE×AB
（3）
S△AEC=1/2AE×CE
S△ODE=1/2OE×OD
S△OBD=1/2BO×DE
∴S△AEC：S△BOD=AE:BO=1:4
∴当AE=1/8AB时
S△AEC：S△BOD=1：4