Question

数学题在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝CD……

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点，且DF=1/2AB,PH为三角形PAD边上的高　　　　　　　　　证明1）PH⊥平面ABCD，2）若PH=1,AD=根号2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积，3）、证明：EF⊥平面PAB

Answer 1

解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∵EG=1/2PH=1/2
∴V=1/3×S△BCF×EG=1/3×1/2×FC×AD×EG=√2／12﹙12分之根号2﹚
（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，
∵E是PB的中点，
∴ME平行且等于1/2AB
DF 平行且等于1/2AB
∴ME平行且等于DF
∴四边形MEDF是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．

​ ​​

∴∥ ​​
，

Answer 2

1. ∵AB垂直平面PAD，AB⊥PH
∵PH是△PAD的高，∴PH⊥AD
那么，PH⊥平面ABCD （垂直于两条相交的直线=垂直于其平面）

2. 既然PH⊥平面ABCD，那么PH就是整个四棱锥的高！
∵E是PB的中点，∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半！
那么三棱锥的高是1/2 (PH=1)

∵AB⊥△PAD，AB∥CD ∴CD⊥△PAD ∴CD⊥AD
那么S△BFC=1/2FC·AD=(根2)/2
三棱锥体积 V(E-BFC)=(1/3)(根2/2)(1/2)=(根2)/12

3.设PA的中点是Q，链接EQ，QD
∵E是PB的中点，所以EQ是△PAB的中位线
EQ=1/2AB EQ∥AB
∵DF=1/2AB DC∥AB (DF∈DC)
∴EQ∥DF且EQ=DF
∴四边形EQDF是平行四边形
∵AB⊥平面PAD ∴EQ⊥平面PAD ∴EQ⊥QD
所以四边形EQDF是矩形
那么， EF⊥QE

∵EQ⊥平面PAD ∴平面EQDF⊥平面PAD
那么，EF⊥平面PAD ∴EF⊥PA
∴EF⊥平面PAB

Answer 3

证明：(1) 取AB中点M，连接CM、EM 在△BPA中，ME是中位线，∴ME∥PA 在四边形ABCD中， ∵∠ABC=∠BCD=90°,DC=1/2AB=AM ∴四边形ADCM是平行四边形 （BC与AM平行且相等）则MC∥AD ∴面CEM∥面APD (一对相交线平行）则 CE∥面APD
（2）取AD的中点N，连接PN、BN ∵PA=PD ∴PN⊥AD ∵平面PAD⊥平面ABCD ∴PN⊥平面ABCD 则 PN⊥BN ∠PBN即为BP与面ABCD所成角。连接DM、BD ∵DC∥MB, BC=DC=AB/2=MB, ∠ABC=∠BCD=90° ∴ 四边形BCDM是正方形设AB=2a 则 AM=MB=BC=EC=DM=PA=PB=a AD=MC=DB=√2a DN=AD/2=√2/2 a PN2=PD2-DN2=a2-1/2a2=1/2a2，PN=√2/2a ∵ DM⊥AB, MD=MB=MA ∴ ∠MDA=∠MDB=45° ，即 ∠BDA=90° BN2=BD2+DN2=2a2+1/2 a2=5/2a2 BN=√10/2a tan∠PBN=PN/BN= √2/2a / √10/2a =√5/5

追问

笨，牛头不对马嘴，看好题再帮我

Answer 4

1 AB⊥平面PAD AB属于平面ABCD 面ABCD⊥面PAD 面ABCD∩面PAD=AD PH⊥AD PH属于面PAD 所以PH⊥面ABCD
2 连接BH取BH中点为G EG∥且=1/2PH 所以EG=1/2 EG⊥面ABCD 面积CFB=根号2/2
体积=1/3×根号2/2×1/2=根号2/12

只会这两问了

Answer 5

证明：(1) 取AB中点M，连接CM、EM 在△BPA中，ME是中位线，∴ME∥PA 在四边形ABCD中， ∵∠ABC=∠BCD=90°,DC=1/2AB=AM ∴四边形ADCM是平行四边形 （BC与AM平行且相等）则MC∥AD ∴面CEM∥面APD (一对相交线平行）则 CE∥面APD

追问

笨，牛头不对马嘴，看好题再帮我