Question

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图像过点（1,13），且函数y=f（x-1/2）是偶函数

1.求f（x）的解析式
2.已知t﹤2，g（x）=[f（x）-x²-13]·|x|，求函数g（x）在[t,x]上的最大值和最小值

Answer 1

1）f(x-1/2)=(x-1/2)²+b(x-1/2)+c=x²-x+1/4+bx-b/2+c=x²+（b-1)x+1/4-b/2+c
∵f(x-1/2)是偶函数 ∴ b-1=0 => b=1
∵f(x)过（1,13) ∴ 13=1²+1+c => c=13-2=11
∴f(x)的解析式为 f(x)=x²+x+11

2)g(x)=(x²+x+11-x²-13)*|x|=(x-2)|x| 【x(x-2) 《x>0》& -x(x-2) 《x<0》】
函数在定义域内有两个极值， 极大值 g(0)=0 极小值 g(1)=-1
∴ 随 t和x的取值不同，在[t,x]上有多种不同的 最大取值和最小取值。【如 t∈[0.1,0.8],x∈[0.9,1]时，最大值=g(t),最小值=g(x) 。。。】