Question

求下列函数的导数~

1，y=x/(x^2+1)
2, y=sinx/x
3, y=(3-x^2)/(3+x^2)
4, y=cosx/(1+sinx)
5, y=(3x+5)^2
6, y=(5x-7)^8

还有，y=(3x+5)^2和 y=(5x-7)^8是复合函数求导，但类似y=x/(x^2+1)这样的函数求导是算做复合函数吗？有点搞混了，麻烦各位帮下忙，感激ing……

Answer 1

1. y‘=[x/(x^2+1)]'=[1-x^2]/[x^2+1]^2
2, y'=[sinx/x]'=[xcosx-sinx]/x^2
3, y'=[(3-x^2)/(3+x^2)]'=[-2x(3+x^2)-2x(3-x^2)]/(3+x^2)^2=-12x/(3+x^2)^2
4, y'=[cosx/(1+sinx)]'=(-sinx(1+sinx)-cosx*cosx)/(1+sinx)^2=-(sinx+1)/(1+sinx)^2=-1/(1+sinx)
5, y'=[(3x+5)^2]'=2(3x+5)*3=6(3x+5)=18x+30
6, y'=[(5x-7)^8]'=8(5x-7)^7*5=40(5x-7)^7

追问

谢谢，我还想问下，像y=x/(x^2+1)的函数算作复合函数吗? 如果对它求导，是否我需要按照lim(Δx→0)[(Δy/Δu)(Δu/Δx)] u=x^2+1这样进行运算吗？或是直接就可以运用公式[f(x)/g(x)]′进行求导即可？

追答

这个可以看做是复合函数，但并非所有的复合函数都要通过极限的方式来求导，公式法即可：
y'=[f(x)/g(x)]′=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g(x)^2

Answer 2

1，y=x/(x^2+1) ,y'=(x^2-2x^2)/(x^2+1)=-x^2/(x^2+1)
2, y=sinx/x , y'=(xcosx-sinx)/x^2
3, y=(3-x^2)/(3+x^2) , y'=[-2x(3+x^2)-(3-x^2)2x)]/(3+x^2)=-12x/(3+x^2)
4, y=cosx/(1+sinx) ,[-sinx(1+sinx)-cos^2x]/(1+sinx)^2=-1/(sinx+1)
5, y=(3x+5)^2 , y'=2(3x+5)*3=18x+30
6, y=(5x-7)^8 , y'=8(5x-7)^7(5x-7)'=40(5x-7)^7