Question

高中数学，求解析，不会别答

Answer 1

解：(1)由f(-1)=f(2)可得：
1-b+c=4+2b+c
解之得b=-1
∴f(x)=x^2-x+c
∵f(x)≥x在[0,2]上恒成立
那么c≥-x^2+2x,x∈[0,2]
亦即c≥(-x^2+2x)(max)=1
并且f(x)≤2|x-1|+1,x∈[0,2]
即c≤2|x-1|+1-x^2+x
亦即c≤(2|x-1|+1-x^2+x)(min)
下面分情况讨论h(x)=2|x-1|-x^2+x+1在[0,2]上的最小值
①当0≤x≤1时：
h(x)=-x^2-x+3
易知此时h(x)(min)=h(1)=1
②当1<x≤2时：
h(x)=-x^2+3x-1
易知此时h(x)(min)=1
∴由①②两种情况综合可得c≤1,且由前面的讨论可知c≥1
故c=1
即f(x)的解析式为f(x)=x^2-x+1

(2)f(x)在[-1,1]上有两个零点,只需要满足以下条件：
f(1)≥0·····③
f(-1)≥0·····④
△>0······⑤
由③④⑤得：
1-b+c≥0·····⑥
1+b+c≥0·····⑦
b^2-4c>0(恒成立)
且题目给定c<0·····⑧
以b为x轴,c为y轴作出平面直角坐标系,由⑥⑦⑧利用线性规划知识可画出可行域,目标函数为z=2b+c，经分析后可知：
当b=0,c=-1时取得最小值
当b→1,c→0时无限趋近于最大值2
故目标函数z的值域为[-1,2)
亦即2b+c的取值范围是[-1,2)

点评：本题是一道相当经典的好题，考查范围非常全面，绝对值不等式解法、二次函数判别、函数恒成立问题、线性规划等多个知识点都被包含在内，考生下来后可以细细揣摩出题者的精妙构思，对于以后快速解决同类型题目有很大的帮助！