Question

高等代数线性空间一题求解

令V为数域p上一线性空间。证明：若V上线性函数f非零，则存在V的一个基底，使得任意a属于V，f(a)=x1^a其中x1^a为a在该基底下的第一个坐标分量

Answer 1

需要假定V是有限维空间，无限维空间基的存在性都成问题了（需要承认选择公理才能保证有基）

f是V->p的线性映射，秩为1，所以其核空间Ker(f)是n-1维的（n是V的维数）
取Ker(f)的一组基e_2,...,e_n，再从V中取一个向量e_1满足f(e_1)≠0
那么e_1/f(e_1),e_2,...,e_n就是一组满足要求的基

追问

抱歉…可是能不能不用核空间来求解?因为目前还没有学到…

追答

先随便取一组基，把f的表示矩阵写出来（是一个行向量），然后用Gauss消去法消去这个向量中的n-1个元素即可。

另外，这类问题不要计较什么先学后学，你以后要学的知识并不依赖于这道题的结论。

追问

Gauss消去法是什么…抱歉因为没有学过所以看不太懂…

追答

Gauss 消去法
http://zhidao.baidu.com/question/558576940.html

这题用不用Gauss消去法都无所谓，总之就是任给一个n维行向量y，必定能找到一个n阶可逆矩阵A使得yA的后n-1个分量非零，随便你怎么找，Gauss消去法只是一种构造方法

追问

好的谢谢~不过消去之后怎么办呢？

追答

把那个消去的变换作为基变换