Question

高考数学：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的√2倍，且椭圆C经过点M(2，√2）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的√2 倍，且椭圆C经过点M(2，√2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2＝8/3 上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．
①求证：OA⊥OB;②求|AB|的取值范围

Answer 1

已知椭圆C的中点在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的更号2倍，且经过点M（2,更号2）
1.求椭圆方程
2.过圆O x^2+y^2=3/8上任意一点作圆的切线教椭圆与A.B两点 求证0A垂直于0B 2.求AB的取值范围
(1)解析：设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,则a=√2b
∵过点M（2,√2）,则4/a^2+2/b^2=1
联立两个方程解得：a=2,b=√2,所以椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1
(2)解析：过圆O x^2+y^2=3/8上任意一点C作圆的切线教椭圆与A.B
设C(√6/4,0)为圆O上任一点
则,过C点圆O的切线为x=√6/4
代入椭圆得：3/32+y^2/2=1==>y^2=29/16
∴A(√6/4,√29/4), B(√6/4,-√29/4)
显然，y1y2/x1x2=(-29/16)/(3/8) ≠-1
∴OA与OB不垂直，与题设OA垂直OB相矛盾
此命题不成立