Question

高中数学题求解。还有我这里那算错了呢？

Answer 1

本题出现的问题是学习数列过程中常犯的一个典型错误，错误来源于学生们没有养成在通项公式或者求和公式后写n的取值范围造成的。另外一方面，对于奇数、偶数的问题，常常以2k、2k-1代替n偶数、n奇数代入求解后再改写成n，这样不容易混淆。下面进行详细分析：
到n为偶数之前，过程都是没有问题的，下面方括号[]表示下标：
当n为偶数时，S[n]=3^(n/2)+n²/4-1，n=2,4,6,…
当n为奇数时，S[n]=S[n-1]+a[n]这步开始有问题，因为n-1是偶数项，并且根据上面的结果应该是n-1≥2，那么这里有意义的n是从3开始的，那所以你解出的S[n]是从第三项开始的，换句话说你的那个结果如果n=1,2,3,…的话是S[2n+1]而不是S[2n-1]，对S[1]起码是不适用的，或者写成S[2n-1]，但是n=2,3,4,…当然，我并没有验证你后面的过程计算是否有误，起码方法就错了。
正确的方法正如上面所说，为了避免错误，奇偶尽量分开写成2k-1和2k，并且养成写n取值范围的习惯，这里k=1,2,3,……
当n为偶数时，S[n]=3^(n/2)+n²/4-1，n=2,4,6,…那么可以写成S[2k]=3^k+k²-1，k=1,2,3,…
于是S[2k-1]=S[2k]-a[2k]=3^k+k²-1-2×3^(k-1)=3^(k-1)+k²-1，k=1,2,3,…
即S[2n-1]=3^(n-1)+n²-1，n=1,2,3,…

追问

谢谢你了

Answer 2

你上面，求S，我没看懂
我是这样求得，2n-1中，奇数有n个，偶数有n-1个

偶数是等比，q=3，所以偶数和为：（3^n-1） - 1
奇数为等差，p = 2,由公式S=An²+Bn，A=p/2 B=a1- p/2 得，S=n²

所以总和为S=3^n-1 + n²-1

你好像把下标搞错了，好比你的2n-1为11的时候，奇数为1,3,5,7,9的下标，不是从1到9的下标
偶数也是一样，为2,4,6,8,10的下标，不是2到10的下标

Answer 3

你求n为奇数时的Sn时后面加的a[n]写错了，应该是1+(n-1)/2x2。
就像如果n=3的话，a[3]=1+1x2，只有1个公差，你就错在这了。

其实这题我建议做的时候最好把an的奇数项和偶数项分别设成2个数列，
比如设b[n]=a[2n-1], c[n]=a[2n]。
因为这题是奇数项等差，偶数项等比，做的时候就容易出现你这种算a[n]时多一倍的公差的错误

追问

为什么要除以2呢？

an＝a1＋（n-1）d

追答

因为是奇数项等差而不是每一项都等差啊，是a[3]=a[1]+2, a[5]=a[1]+2X2.
所以才说如果设b[n]=a[2n-1]，这样b[n]是等差数列。a[n]这个数列本身不等差的

这题可以不求S[n], 直接求S[2n-1]也很简单。

追问

那要怎么算an呀

Answer 4

错在n为奇数时an的计算了，an=n。你算的an是首项为1，公差为2，但是注意项数不是n.

追问

不是Sn-1与Sn相差一个an么？

不是Sn-1与Sn相差一个an么？