Question

一道数学题，要详细的过程。

已知函数f(x)=(ax^2-x)lnx-1/2*ax^2+x(a≠0)（1）若X=1/4是f(x)的极值点，求实数a的值.（2）讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

∵f(x)=(ax^2-x)lnx-1/2ax^2+x，其定义域x>0
f'(x)=(2ax-1)lnx+(ax^2-x)/x-ax+1
f'(1/4)=(a/2-1)ln1/4+(a/16-1/4)/(1/4)-a/4+1=0
解出a就行了。a=2
（2）
当a>0时，令f’(x)=(2ax-1)lnx+(ax-1) -ax+1=(2ax-1)lnx=0
X1=1/(2a)，x2=1
f’’(x)=2alnx+(2ax-1)/x
f’’(x1)=-2aln(2a)
当0<a<1时，f’’(x1)>0，∴函数f(x)在x1处取极小值；
当a>=1时，f’’(x1)<=0，∴函数f(x)在x1处取极大值；
f’’(x2)=2a-1
当0<a<1/2时，f’’(x1)<0，∴函数f(x)在x2处取极大值；
当a>1/2时，f’’(x1)>=0，∴函数f(x)在x1处取极小值；

当a<0时，f’(x)=(2ax-1)lnx
当0<x<1时，f’(x1)>0，∴函数f(x)单调增；
当x>=1时，f’(x1)<0，∴函数f(x)单调减；

综上：当a<=0时，
x∈(0,1)时，函数f(x)单调增；x∈[1,+∞)时，函数f(x)单调减；

当0<a<1/2时，
x∈(0,1)时，函数f(x)单调增；x∈[1,1/(2a))时，函数f(x)单调减；x∈[1/(2a),+∞)时，函数f(x)单调增；

当a=1/2时，f’(x1)=(x-1)lnx>=0
函数f(x)在定义域上单调增；

当a>1/2时，
x∈(0,1/(2a))时，函数f(x)单调增；x∈[1/(2a),1)时，函数f(x)单调减；x∈[1,+∞)时，函数f(x)单调增；