Question

0.99循环等于1吗

我已经用极限的概念说明0.999····=/=1,证明如下:
e=lim n→∞(1+1/n)^n
e=(1.0...1)^(10...)
1/e=lim n→∞(1-1/n)^n
1/e=(0.99...)^(10...)

假设0.999····=1
1/e=1^(10...)
1/e=1
因此0.999····=1错误!!!!
我的证明有没有错?
我的证明有没有错?我的证明有没有错?我的证明有没有错?

Answer 1

你的证明没有错，但是我想你没有完全搞懂相等的概念。相等概念有两种:一种象2=2、x=3等等，这种相等可做恒等代换；还有一种相等是极限意义下的相等，如0.999...=1、0.333...=1/3等等，以0.999...为例，0.999...只能无限趋近1，但是它永远达不到1，从这个意义上讲0.999...≠1，因此极限意义下的相等和前一种相等意义不同，这种相等不一定能做恒等代换，你的证明恰好说明了这一点。

Answer 2

你好！

首先可以肯定的告诉你 0.9的循环等于1
因此你的证明过程当然是错的

1+ 1/(+∞) 不能表示成 1.00…01
1+ 1/10^(+∞) 才是 1.00…01
其他也是同样的错误

正确的证明是根据极限的定义

设 0.9的循环 = lim(n→+∞) A
其中 A = 1 - 1/10^n
对于任意给定的正数 ε
要使 | A - 1 | = 1/10^n < ε
只需 n > lg(1/ε)
即 总存在正整数 N = [lg(1/ε)] +1
使得 当 n>N时 | A - 1 | < ε 成立
故 lim(n→+∞) A = 1
即 0.9的循环 = 1

追问

为什麼 n>N时 | A - 1 | < ε 成立?

追答

n>N = [lg(1/ε)] +1 > lg(1/ε)
|A - 1| = 1/10^n < ε

这不是前面写着的吗

追问

但这不能证明0.999恒等於1。

追答

A = 1 - 1/10^n

0.9的循环 = lim(n→+∞) A

这两个式子有没有问题？没有吧

lim(n→+∞) A = 1 成不成立？成立的吧

那你说 0.9的循环等不等1

我再问你一个问题，你说它们不相等，那他们两个数之间必然存在无数个实数
请你随便写出一个来

追问

无限趋近1，但是它永远达不到1
按你的推论:两个数不相等,就代表它们之间必然存在无数个实数
1与1.00...1两个数之间没有无数个实数,所以他们相等???难道
lim n→∞(1+1/n)=1=1.000...1
e=lim n→∞(1+1/n)^n=1 ??????

追答

我一开始就说了
lim n→∞(1+1/n) 不是 1.000……1
lim n→∞(1+1/10^n) 才是 1.000……1

你还在坚持你的错误方法

0.9的循环 = lim(n→+∞) A = 1

你只要承认这两个等号都是成立的就可以了

Answer 3

首先你确定自己用的是什么数学方法，是反证法？但是你没有明确证明左边不等于右边，有些数字问题是不能用证明来对等的，非要计较的话0.9就可以等于1。这个方程不知你是否知道（1+x）^n
=1+nx只是极限情况下存在而已，但是用真正的数字证明反而缺少了数学的多元化求解问题的方式。

追问

但在数学中不是对,就是错,没可能有两个矛盾的答案同时成立。

Answer 4

可以这样证明：
设x=0.99……
10x=9+0.99……
10x=9+x
9x=9
x=1
∴0.99……=1

Answer 5

最简单的证明1/3=0.3333333……，2/3=0.66666……，3/3=1/3+2/2=0.3333333……+0.6666666……=0.9999999……=1