Question

线性代数证明：实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量a1,a2必正交

Answer 1

先证明：若A是一个n阶对称矩阵，a,b为n维列向量则<Aa,b>=<a,Ab>（<a,b>表示内积）
（如果你学的是高代，那么该命题显然成立，因为对称变换的原因，具体证明，因为内积定义的问题，所以要设空间，有点多，就不用高代的方式证明了。）
如果是线性代数，那么<Aa,b>=(Aa)^Tb=a^TA^Tb=a^TAb=<a,Ab>

有了上述命题，若b1,b2为A的不同的特征值，且a1,a2分别为其对应的特征向量，那么
b1<a1,a2>=<b1a1,a2>=<Aa1,a2>=<a1,Aa2>=<a1,b2a2>=b2<a1,a2>
因为b1,b2不同，故<a1,a2>=0，即正交。

或者你可以统一一起证明
b1<a1,a2>=b1a1^Ta2=(b1a1)^Ta2=(Aa1)^Ta2=a1^TAa2=a1^Tb2a2=b2a1^Ta2=b2<a1,a2>
因为b1,b2不同，故<a1,a2>=0，即正交。