Question

已知命题:如果a b属于正实数 且a+b=1 那么1/a+1/b大于等于4 1、证明这个是真命题

2.2.推广上述命题，如果a,b,c属于正实数 且a+b+c=1 那么得到什么不等式？ 并证明 3.请你写一个更一般的结论

Answer 1

如果a b属于正实数 且a+b=1 那么1/a+1/b
=(1/a+1/b)(a+b)
=1+a/b+b/a+1
=2+(a/b+b/a)
>=2+2√(a/b*b/a)=4
如果a b属于正实数 且a+b=1 那么1/a+1/b大于等于4

如果a,b,c属于正实数 且a+b+c=1
1/a+1/b+1/c>=9
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)
=3+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)+(b/c+c/a)
>=9
一般的
a1+a2+a3+……+an=1 a1,a2,a3……an>0
则 1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an>=n^2

Answer 2

用柯西不等式（1/a1+1/a2+...+an）(a1+a2+...+an)>=n^2
或把常数1用a+b代替，用均值不等式