Question

如图，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点.

求证：AM⊥PF 急急急！要详细步骤！越详细越好！

Answer 1

证明:PA与圆相切于A,则:∠PAE=∠C;又∠APE=∠CPF.
故∠PAE+∠APE=∠C+∠CPF,即∠AEF=∠AFE.(三角形外角的性质),得:AE=AF.
又弧BM=弧CM,∠BAM=∠CAM.
所以,AM⊥PF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高)

注:第一步是弦切角的性质,若你没学过,不妨换个方法证明一下∠PAE=∠ACP:
连接AO并延长,交圆O于N,连接CN.AN为直径,则∠ACN=90度,又∠BAN=∠BCN.则∠PAE=∠ACP(等角的余角相等)

追问

∠PAE为什么等于∠C啊

追答

相切定理

追问

啊？

追答

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.　　弦切角定理：
　　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明
　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，
　　则∠TCB=∠CDA
　　∵∠TCB=90-∠OCD
　　∵∠BOC=180-2∠OCD
　　 ∴,∠BOC=2∠TCB

追问

谢谢拉 不用了哦

Answer 2

证明：
∵PA是圆O的切线
∴∠PAB=∠C
∵PF平分∠APB
∴∠APE=∠CPF
∵∠AEF=∠PAB+∠APE，∠AFE=∠C+∠CPF
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
∵M是弧BC的中点
∴∠BAM=∠CAM
∴AM⊥EF
即AM⊥PF

追问

为什么∠PAB等于∠C啊 = =！

追答

弦切角等于它所夹弧对的圆周角

追问

没有讲到弦切角 有没有别的方法

追答

这个题就是弦切角部分的题
不然只能再证明弦切角定理了

追问

不用了，我打电话问了，谢谢 外瑞马驰

追答

\(^o^)/~