Question

线性代数判断向量子空间

(C(R),R,+, ·), W = {f : f(x + y) = f(x)*f(y) for any x, y} W是否为向量子空间？
乘法闭合成立，求加法闭合性的判断推导。

Answer 1

Closure一般在中文中翻译为封闭。而不是闭合。
另外，注意空间在代数中是一种类似模的结构，而不是类似环的结构。
你这个地方说乘法封闭，显然，你并不理解这一定。
乘法是数乘。

如果 f(x)*f(y) 没有其他定义，单纯的理解为乘法的话。

那么kf是否也属于W
注意到f(x)=1属于W
任取k不为0和1，那么kf(x)=k显然不属于W
故数乘不封闭。

故其不是子空间。

追问

你那里看出来f(x)=1了？
f(x + y) = f(x)*f(y) 就是这道题的自反定义，怎么就没有其他定义了？
这里面的基本元素是f,是函数
乘法封闭指的是：
对于 f(x)=f（x/2）^2 成立，
那么对k*f(x) 难道不等于k*f（x/2）^2么？

要回答请认真细致一些

追答

....我只能说你脾气太大，而且极度自大。

我说了f(x)只能等于1吗？？？、
我说的是f(x)=1这个常函数显然属于W .
kf(x)=k,在k不为0，1时，k不等于k^2，也就是kf(x)不属于W

至于
那么对k*f(x) 难道不等于k*f（x/2）^2么？
如果你真的了解什么是数乘，你就不会这么说了，貌似你另一个题也是没搞清这个。
注意到你要讲kf(x)看成一个新的函数g(x)
g(x+y)=kf(x+y)=kf(x)f(y)
g(x)g(y)=k^2f(x)f(y)
在k不为0，1这两个不相等。故g(x)=kf(x)不在W中，故W关于数乘不封闭。

你知道我为什么不用这个方法证明，而用取特值的方法吗？因为还有一个可能他们会相等，就是f(x)f(y)=0，根据任取性，如果f(x)f(y)=0，那么f(x)=0，那么这个空间是一个0空间，只有0映射的空间，确实是一个空间，但我找到了一个非零元排除了这一点，既然这样所以干脆合二为一，用特值的方式证明。

f(x)*f(y)因为你写的是*，在代数上*可以任意定义。比如 f(x)*f(y)=[f(x)+f(y)]/2,等等。

请你尊重别人的劳动成果。

追问

额，抱歉。我主观上没有不尊重你的意思。不把不明白的都说出来自己根本就懂不了啊~光一个答案信息量太少了。
这下我彻底明白了，W的定义也好，数乘的概念也好。真心谢谢！
P.S：这不叫自大，这叫自信，凡是我不懂的，都是不对的~