Question

高中数学抛物线与双曲线问题

已知抛物线y^2=2PX（P>0)焦点F恰好是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点，且两条曲线焦点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（） 请给出详细解答，感激不尽！！

Answer 1

抛物线焦点是p/2=c，则：p=2c，则抛物线准线是x=－c，则两曲线交点是(c，2c)，这个点在双曲线上，得：
c²/a²－(4c²)/(b²)=1
(c²/a²)－1=(4c²)/(b²)
b²/a²=4c²/b²
b²=2ac
c²－2ac－a²=0
(c/a)²－2(c/a)－1=0
e=c/a=1＋√2

追问

请问一下
抛物线和双曲线的交点不是应该有两个吗？
那么两曲线交点为（c，2c）是如何得出的呢？

追答

1，交点的确有两个，但两交点关于x轴对称，所以仅是纵坐标相反，带入解析式其实是一样的。
2，两交点连线垂直于x轴，根据抛物线定义，交点到准线距离(即焦点到准线距离）2c等于交点到焦点距离，即为交点纵坐标。

追问

请问(c²/a²)－1=(4c²)/(b²)是如何变到b²/a²=4c²/b²的呢？？
对不起我是艺术生，比较笨

追答

两边同乘b^2，得：(b^2/a^2)×c^2-b^2=4c^2
根据双曲线定义：c^2=a^2+b^2
将其带入得：（b^2/a^2）×（a^2+b^2）-b^2=4c^2
整理上式即可得出：b²/a²=4c²/b²

Answer 2

F坐标为（p/2,0)
所以交点坐标为H（p/2,p)
2c=p,所以三角形HF1F为等腰直角三角形
HF1=根号2p
HF1-HF=根号2p-p=2a
所以e=c/a=2c/2a=p/(根号2p-p)=根号2+1

Answer 3

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