Question

高数 对坐标的曲面积分

请问如何将三重积分中的柱面坐标推广到对坐标面的曲面积分中使用？比如求对坐标的曲面积分∫∫(x+y+z)dydz，其中曲面为柱面x^2+y^2=a^2(0≤z≤1)，利用柱面坐标求解。
当a=1时，如果用高斯公式计算的话，结果是π。但如何解释下面追问中列出来积分公式？难道只是经验吗？尽管结果相同。

Answer 1

柱面坐标是求解【三重积分】时用的。
对坐标的曲面积分的直接计算公式是化成【二重积分】。
有些情况下，对坐标的曲面积分可以利用高斯公式化成【三重积分】计算。

追问

这是当曲面为柱面x^2+y^2=1(0≤z≤1)时，答案给的式子。当改变半径时，应该也可以用吧？

追答

式子是如何得出的。
柱面坐标的r如何解释。
可用两种方法算出结果以检验。

Answer 2

三重积分中，被积函数是一个标量（这个标量与空间的几何性质无关），是求这个标量与空间局部测度乘积的和。而对坐标的曲面积分的被积函数，是一个向量与曲面单位外法向量内积（这个内积与曲面的几何性质有关）。所以，重积分与对坐标曲面积分是不一样的，它们可以通过高斯定理建立联系，但不是同一类概念。建议你不考虑作简单推广。如果真有兴趣，建议你读读“流形上的微积分”和“微分形式的积分”。

追问

感谢继续回答

Answer 3

Gauss公式:
原式=∫∫∫
(1+0+0)dxdydz
=∫∫∫
1dxdydz
被积函数为1，积分结果为区域的体积，这个区域是一个三棱锥，体积很简单
x+2y+z=6在三个坐标轴的截距为:6，3，6
(1/3)(1/2)×6×3×6=18
因此结果是18
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。