Question

已知a>b>0,求证：(a²-b²)/(a²+b²)>(a-b)/(a+b)

请写出答案与解题思路，谢谢！

Answer 1

分析法：
两边有共同的因式a-b
因为a-b>0，可直接约去，不需变号
所以，要证：(a²-b²)/(a²+b²)>(a-b)/(a+b)
只需证：(a+b)/(a²+b²)>1/(a+b)
要证：(a+b)/(a²+b²)>1/(a+b)
只需证：(a+b)²>a²+b²
而(a+b)²=a²+2ab+b²，a>b>0
所以：a²+2ab+b²显然是大于a²+b²的
所以，题设得证。

正着写一遍
因为a>b>0
所以：a²+2ab+b²>a²+b²
即：(a+b)²>a²+b²
即：(a+b)/(a²+b²)>1/(a+b)
因为a-b>0
所以：(a+b)(a-b)/(a²+b²)>(a-b)/(a+b)
即：(a²-b²)/(a²+b²)>(a-b)/(a+b)
题设得证

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O