Question

已知二次函数f(x)=x^2–4x+3,若函数g(x)=[f(x)–4]/ [x+1],x∈（–4，–1）U（-1,0），求g（x）取值范围

Answer 1

把 f(x)代入g(x)，得出解析式为

g(x)=(x^2-4x-1)/(x+1)=4/(x+1)+x-5=4/(x+1)+(x+1)-6

当x位于(-4,-1)时，x+1<0

-4/(x+1)-(x+1)>2根号（-4/(x+1)*-(x+1)

4/(x+1)+(x+1)<-4

g(x)<=-4-6

g(x)<=-10

即在此区间，有最大值－10，求出取得最大值的点，代入，得出，x=-3

满足区间要求。

当x属于(-1,0)时，-1<x<0

所以1>x+1>0

4/(x+1)+(x+1)>2根号（4/(x+1)*(x+1)

g(x)=4-6

g(x)>-2

即当x+1>0时，有最小值为－2，计算得出此时x=1，跑出了区间范围。

因此，在区间范围内，x=0处取得最小值，代入得 g(x)=-1

所以，在x的区间内，g(x)的取值为 x<=-10,或 x>-1

附函数图象，有助于理解：

Answer 2

已知二次函数f(x)=x^2–4x+3,若函数g(x)=[f(x)–4]/ [x+1],x∈（–4，–1）U（-1,0），求g（x）取值范围
解析：∵二次函数f(x)=x^2–4x+3,若函数g(x)=[f(x)–4]/ [x+1],x∈（–4，–1）U（-1,0），
∴g'(x)=(x^2+2x-3)/(x+1)^2=0==>x1=-3,x=1,
g''(x)=(8x-4)/(x+1)^4==>g"(-3)<0，g"(1)>0
函数g(x)在x1处取极大值g(-3)=-10，在x2处取极小值g(1)=-2，
∴g（x）取值范围(-∞,-10)U(-2,+∞)

追问

∴g'(x)=(x^2+2x-3)/(x+1)^2=0==>x1=-3,x=1,
g''(x)=(8x-4)/(x+1)^4==>g"(-3)0
这两步是什么意思？嗯，能不能用复合函数做？

Answer 3

g(x)=(x^2-4x-1)/(x+1)=(x^2+x-5x-5+4)/(x+1)=x-5+4/(x+1)=[(x+1)+4/(x+1)]-6
令t=x+1,则g(x)=t+4/t-6
x∈（–4，–1）U（-1,0)
t∈（–3，0）U（0,1)
t+4/t为双钩函数，
在(0, 1)时单调减，其值为(5,+∞), 此时g(x)在（-1，+∞）
在(-2,0)时单调减，其值为(-∞,-4), 此时g(x)在(-∞,-10)
在（-3，-2）时单调增，其值为(-4,-13/4),此时g(x)在(-10, -37/4)
因此g(x) 的值域为(-∞, -37/4) U(-1,+∞)

追问

的确是这样，但是很疑惑为什么用复合函数做就错的？y=1/（x+1），单调递减，f(x)–4在定义域内也是单调递减，所以是增函数，然后把–4和0代入，哪里错的？
多谢了

追答

单调递减的2个函数相乘并不一定单调递减呀，这里头有个符号的问题。
最简单的例子:
y=1/x单调减， y=-x^3也单调减
但两者相乘后y=-x^2并不是单调减的。

追问

那复函函数是怎么定义的？一下子晕了

追答

这里你用两个单调函数相乘，并不是复合函数的定义。这只是函数的加减乘除运算而已。
况且复合函数并不能保证单调性复合后不变。