Question

如图所示，半径为R的光滑、绝缘的圆环竖直固定放置

如图所示，半径为R的光滑、绝缘的圆环竖直固定放置，质量为m、带电量为q（正电荷）小球套在圆环上，在圆环所在区域内有与环面平行的匀强电场，当小球从A点（A点与圆心等高）由静止释放，小球到达最低点B时速度为0.

（1）求ab两点的电势差
（2）若电场沿水平方向，匀强电场的强度是多少？
（3）电场强度沿什么方向时电场强度最小？最小值是多少？在这种情况下小球经过哪一点时速度最大？最大速度是多少？

Answer 1

解：(1)球：A到B过程，动能定理
mgR+UABq=0，
解得UAB=-mgR/q
(2)由上问可知：UAB=φA-φB<0，故φA<φB，即电场线水平向右
UAB=-ER，
解得E=mg/q
(3)①电场强度沿AB连线方向由B指向A时，沿电场线方向的距离最大，因此E最小，此时
UAB=-Emind，d=√2R，
代入解得 Emin=√2mg/2q
在这种情况下：小球经过等效势能最低点速度最大，
②等效重力为电场力与重力的合力，设该方向与竖直方向成θ角，
则水平方向合力Fx=Eminqsin45°=0.5mg（向右）
竖直方向合力Fy=mg-Eminqcos45°=0.5mg（向下）
故tanθ=Fx/Fy=1，θ=45°，即等效势能最低点在AB圆弧的中点。
③设该点为C（其实由对称性一猜就能猜到这点速度最大，总势能最低）
物体：由A到C过程，动能定理
mgRcosθ-EminqcosθR(1-sinθ)-EminqsinθRcosθ=0.5mvmax^2
(这里是把电场力分解为水平和竖直两个分力，分别求其做的功)
联立解得：vmax=√{[(√2)-1]gR}

追问

我们老师第三题给的式子是mgcosθ（R-Rcosθ）=1/2mv平方。请问一下这个式子对么？是什么意思

追答

mgcosθ（R-Rcosθ）是等效重力在该过程做功，即合外力做功，mgcosθ=√2mg/2是等效重力，
（R-Rcosθ）是位移在等效重力方向的投影，这个大小又与始末位置连线在水平投影相等，你可以试着证明一下。这种写法在做题时不好，自己写费劲，别人看也不容易看懂，建议还是水平竖直这样写，这样好写、好理解，就是式子麻烦点。

Answer 2

（1）能量守恒，重力势能转化为电势能了即W=mgr
电势差U=mgr/q
(2)E=U/d=mg/q
(3)d由E=U/d可知d越大E越小
电场方向应在AB连线上E=mg/(2^0.5q)
速度最大点应该在电场重力场环的作用力合力为零处
即环AB段中点1/2mgr=1/2mv^2
v=(gr)^2