Question

∫L(2xy-x²)dx+(x+y²)dy.其中L是由抛物线y=x²和y²=x所围成的区域的正向边

∫L(2xy-x²)dx+(x+y²)dy.其中L是由抛物线y=x²和y²=x所围成的区域的正向边界曲线。求曲线积分

Answer 1

解:令P=2xy，Q=x+y²。则αP/αy=2x，αQ/αx=1
根据格林公式，得
∮<L>(2xy-x²)dx+(x+y²)dy=∫∫<S>(1-2x)dxdy (S是L所围成区域)
=∫<0,1>dx∫<x²,√x>(1-2x)dy
=∫<0,1>(1-2x)(√x-x²)dx
=∫<0,1>(√x-2x^(3/2)-x²+2x³)dx
=2/3-4/5-1/3+1/2
=1/30。