Question

函数y=(sinx+cosx)/(sinxcosx+1) x属于[0,π]的值域

Answer 1

y=(sinx+cosx)/(sinxcosx+1)
一方面：
设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∵x属于[0,π],∴x+π/4∈[π/4,5π/4]
∴sin(x+π/4)∈[-√2/2,1]
∴t∈[-1,√2]

另一方面：
(sinx+cosx)²=sin²X+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=（t²-1)/2
∴y=t/[(t²-1)/2+1]=2t/(t²+1)

t=0时，y=0

0<t≤√2时，y=2/(t+1/t)
根据均值定理
∵t+1/t≥2 ∴ 0<y=2/(t+1/t)≤1
（当t=1/t,t=1时，取等号）

当-1≤t<0时，y=2/(t+1/t)
根据均值定理
∵-t+（-1/t）≥2
∴ 0<-2/(t+1/t)≤1
∴-1≤y<0
（当t=1/t,t=-1时，取等号）

综上所述，函数值域为[-1,1]

Answer 2

因为分子=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-1,√2]
分母=sinxcosx+1=1/2*sin2x+1=[1/2,3/2]
所以函数y是有界函数，而且是连续函数
y‘=[(cosx-sinx)(sinxcosx+1)-(sinx+cosx)cos2x]/(sinxcosx+1)^2=0
sinxcos^2x-sin^2xcosx+cosx-sinx-sinxcos^2x+sin^3x-cos^3x+sin^2xcosx=0
cosx-sinx+sin^3x-cos^3x=0

cosx-sinx-(cosx-sinx)(cos^2x+sinxcosx+sin^2x)=0
(cosx-sinx)(sinxcosx)=0

sinx=0或cosx=0或sinx=cosx
x=0或π/4或π/2或π
y(0)=1
y(π/4)=2√2/3
y(π/2)=1
y(π)=-1
所以-1<=y<=1

Answer 3

解：y^2=[(sinx+cosx）^2]/[(sinxcosx+1)^2]=(1+sin2x)/[1/4(sin2x)^2+sin2x+1]
=4(1+sin2x)/[(sin2x+1)^2+2(sin2x+1)+1]
当，1+sin2x=0，x∈[0,π],即x=3/4π时，y^2=0,即y=0;
当 x<>3/4π时， 1+sin2x>0，y^2=4/[(1+sin2x)+1/(1+sin2x) +2]
<=4/{2倍根号下[(1+sin2x)×1/(1+sin2x)]+2}
=1
当sin2x=0,即x=0,或π/2,或π时，等号成立；
所以-1<=y<=1,即y∈[-1,1]