Question

已知a>0且不等于1,求函数f(x)=loga(a-a^x)的定义域，值域

已知a>0且不等于1,求函数f(x)=loga(a-a^x)的定义域，值域，并判断单调性

Answer 1

f(x)=loga(a-a^x)
函数若有意义
则 a-a^x>0
即 a^x<a

当a>1时，解得x<1
函数的定义域为(-∞,1)
∵0<a^x<a
∴0<a-a^x<a
∴loga(a-a^x)<1
即函数的值域为(-∞,1)
设t=a-a^x
∵a^x递增 ∴t=a-a^x为减函数
∵y=logat为增函数
∴f(x)=loga(a-a^x)是减函数

当0<a<1时， a^x<a解得：x>1
函数的定义域为(1，+∞)
∵0<a^x<a
∴0<a-a^x<a
∴loga(a-a^x)>1
即函数的值域为(1,+∞)
设t=a-a^x
∵a^x递减 ∴t=a-a^x为增函数
∵y=logat为减函数
∴f(x)=loga(a-a^x)是减函数