Question

已知sinθ cosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根

已知sinθcosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根 (1)求cos3(π/2-θ)+sin3(π/2-θ)的值 (2)求tan(π-θ)-1/tanθ的值

Answer 1

已知sinθcosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根 (1)求cos3(π/2-θ)+sin3(π/2-θ)的值 (2)求tan(π-θ)-1/tanθ的值
(1)解析：∵sinθ，cosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根
∴sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a
(sinθ+cosθ)^2=1+2a=a^2==>a1=1-√2，a2=1+√2
x^2-(1-√2)*x+1-√2 =0
∴sinθ+cosθ=(1-√2)，sinθcosθ=1-√2

x^2-(1+√2)*x+1+√2 =0无实解

cos3(π/2-θ)+sin3(π/2-θ)=-(cos3θ+sin3θ)=-[cosθ-4(sinθ)^2cosθ+4(cosθ)^2sinθ-sinθ]
=sinθ-cosθ+4sinθcosθ(sinθ-cosθ)
=(sinθ-cosθ)(1+4sinθcosθ)
=√[(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ](1+4sinθcosθ)
=√(a^2-4a)*(1+4a)
=√(2√2-1)*(5-4√2)

(2)解析：∵sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a
∴tan(π-θ)-1/tanθ=-tanθ-1/tanθ=-[(tanθ)^2+1]/tanθ=-(secθ)^2/tanθ
=-1/(cosθsinθ)=-1/a=1+√2

Answer 2

由韦达定理可知
sinθ+cosθ=a (1)
sinθcosθ=a (2)
(1)两边平方:
1+2sinθc0sθ=a^2
2sinθc0sθ=a^2-1 (3)
(3)/(2):2=a-1/a
a1=1+√2(舍去), a2=1-√2
cos³(π/2-θ)+sin³(π/2-θ)
=sin³θ+cos³θ
=(sinθ+cosθ)(sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)
=a(1-a)
=a-a²=1-√2-(1-√2)²=√2-3

(1)/(2):tanθ+1/tanθ=1
tan(π-θ)-1/tanθ=-tanθ-1/tanθ
=-(tanθ+1/tanθ)=-1

Answer 3

（1）原式=-sin(3sita)-cos(3sita)
=4sin^3(sita)-3sin(sita)+3cos(sita)-4cos^3(sita)
=4(sin^3(sita)-cos^3(sita))+3(-sin(sita)+cos(sita))
=(sin(sita)-cos(sita))(4sin^2(sita)+4sin(sita)cos(sita)+4cos^2(sita)-3)
=根号(1+2a) (4-3+4a)
=(4a+1) 乘以 （2a+1)的平方根 。
（2）原式=-tan(sita)-1/tan(sita)
=-sin(sita)/cos(sita)-cos(sita)/sin(sita)
=-[sin^2(sita)+cos^2(sita)]/(sin(sita)cos(sita))
=-1/a