Question

利用收敛准则证明下列数列有极限，并求其极限值。

X1=1 Xn+1=Xn/1+Xn +1 n=1.2.…… 注：Xn/Xn+1是一个整式

Answer 1

X1=1，Xn+1=Xn/(1+Xn) +1<2, 故Xn有界
X2-X1=3/2-1>0
X(n+1)-Xn=Xn/(1+Xn) +1-X(n-1)/(1+X(n-1)) +1=(Xn-X(n-1))/((1+Xn)(1+X(n-1))
由归纳法：X(n+1)-Xn>0.Xn单调增加
Xn极限存在，设为a
在X(n+1)=Xn/(1+Xn) +1两边取极限的：a=a/(1+a)+1
解得：a=(1±√5)/2，舍去负数
a=（1+√5)/2