Question

1的3次方等于四分之一乘以1的平方乘以2的平方，1的立方加2的立方等于四分之一乘以2的平方乘以3的平方

求2的立方加4的立方加6立方加........加100的立方？

Answer 1

我给你一个算法： 首先你要知道 1+2+3+4+……+n=1/2n(n+1) (a)
接下来举例 ：
（1） 求1^2+2^2+3^2+……+n^2的和
解： 因为 (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
将上式n分别用1，2……n代入得如下等式
2^3=1^3+3×1^2+3×1+1
3^2=2^3+3×2^2+3×2+1
……………………
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
将上面所有等式叠加得：(n+1)^3=1^3+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+4+……+n)+n
将 (a)代入并 整理得 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) (b)
（2） 求1^3+2^3+3^3+……+n^3的和
解： 因为 (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
将上式n分别用1，2……n代入得如下等式
2^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1+1
3^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2+1
……………………
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
将上面所有等式叠加得：
(n+1)^4=1^4+4 (1^3+2^3+3^3+……+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+4(1+2+3+4+……+n)+n
将 (a)(b)代入并 整理得 1^3+2^3+3^3+……+n^3=1/4n^2(n+1)^2 （c）
看完我举的两例你应该明白了吧，任何次方的和都可以通过这样的方法来做都可以求出来以上我给你求出了2次的3次的你还可以继续求4次5次……任何都可以
对于本题只是小试牛刀，做法如下：
2^3+4^3+6^3+……+100^3
=2^3×(1^3+2^3+3^3+……+50^3)(代入（c）结论其中n=50)
=8×1/4×50^2×51^2
=13005000

Answer 2

∵ 13=1/4×12×22
13+23=1/4×22×32
从中发现规律：n3+(n+1)3=1/4×(n+1)2×(n+2)2
∴13+23+33+…+503=1/4×502×512
又∵23+43+63+…+1003
=（1×2）3+（2×2）3+（3×2）3+…+（50×2）3
=13×23+23×23+33×23…+503×23
=（13+23+33+…+503）×23
∴23+43+63+…+1003
=（13+23+33+…+503）×23
=1/4×502×512×23