Question

求问一道数学微定积分的问题，麻烦朋友们帮忙看下~谢谢啦~

如果路程s=s(t)，则时刻t的速度v(t)=s′(t)。从导数和积分的定义，论证微积分定理成立：∫(a~b)s′(t)dt=s(b) - s(a)

刚刚学微定积分，所以有点迷茫。请问这个题怎么论证？还有时刻t的速度s′(t)乘以dt代表什么？

Answer 1

从a到b的定积分∫s′(t)dt=s(t)从b到a 路程差即=s(b) - s(a)

还有时刻t的速度s′(t)乘以dt代表什么？

s′(t)=v(t)，dt为微小时段，这两个之积，就是某一微小时段时速度v(t)与微小时段之积，即为微小路段。这就是将一段路程微分成了许多微小路段的过程，所以叫微分。再将这许多微小路段累积起来，所以叫积分。全起来是微积分。
所以要微分，是因为速度是在变化的，所以将路段分得越小，这计算误差就越小。微积分是将这微小路段分成了无穷小，所以是无误差了。当然，这速度必须是能用可微可积的函数来表达才成的。

追问

不好意思，这两天有点事所以回复晚了。我想再问下，后面的两段内容就是对微积分定理成立的论证吗？谢谢~

追答

可微，其函数必需是连续的，可积，其函数必须是有原函数的。这是微积分的要求。
如果函数是不连续的，那要分段处理；如果原函数都不知道，那自然就无法积分。

Answer 2

用微元法来解释：s′(t)*dt 表示 在 t 时刻的速度与时间微元 dt 的乘积，也就是路程微元；积分表示把所有这样的路程微元从时刻 a 到 时刻 b 连续的累加起来，就是总路程 s(b) - s(a)。

Answer 3

s′(t)=v(t)，dt为微小时段，这两个之积，就是某一微小时段时速度v(t)与微小时段之积，即为微小路段。这就是将一段路程微分成了许多微小路段的过程，所以叫微分。再将这许多微小路段累积起来，所以叫积分。全起来是微积分。
所以要微分，是因为速度是在变化的，所以将路段分得越小，这计算误差就越小。微积分是将这微小路段分成了无穷小，所以是无误差了。当然，这速度必须是能用可微可积的函数来表达才成的

Answer 4

时刻t的速度s′(t)乘以dt代表对该速度进行时间积分，就是路程。∫s′(t)dt=∫v(t)dt=s(b) - s(a)